Question

如图，△ABC中，AB=AC，作以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）若BF=2，CE=1.2，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD，AD，由切线的性质可得OD⊥EF，再利用圆周角定理证明AD⊥BC，根据等腰三角形的性质可证明OD∥AC，由平行线的性质即可得到EF⊥AC；
（2）设⊙O的半径为x，由O∥AC，可得：△ODF∽△AEF，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的比例式，求出x的值即可．

解答：（1）证明：连接OD，AD，
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=DC．
∴OD∥AC．    
∴AC⊥EF．     

（2）解：设⊙O的半径为x．
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF．
∴

OD

AE

=

OF

AF

，即

x

2x-1.2

=

2+x

2+2x

．
解得：x=3．
∴⊙O的半径为3．

点评：本题主要考查了切线的性质定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大．