Question

2．M为双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-x+m于点D、C两点，若直线y=-x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．
（1）求AD•BC的值．
（2）若直线y=-x+m平移后与双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$交于P、Q两点，且PQ=3$\sqrt{2}$，求平移后m的值．
（3）若点M在第一象限的双曲线上运动，试说明△MPQ的面积是否存在最大值？如果存在，求出最大面积和M的坐标；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，如图1，求得A（0，m）；B（m，0）．求得△ABO为等腰直角三角形推出△ADF和△BCE也是等腰直角三角形设M（a，b），则ab=$\sqrt{3}$，CE=b，DF=a解直角三角形即可得到结论；
（2）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$，整理得：x²-mx+$\sqrt{3}$=0，根据根与系数的关系得到：m²-4$\sqrt{3}$=9，解得：m=±$\sqrt{9+4\sqrt{3}}$；
（3）由上述结论知x₁=y₂，x₂=y₁，且AO=BO=y₁+y₂=x₁+x₂=m    ①，
由于x₁x₂=$\sqrt{3}$   ②，得到P，Q两点的坐标，得到PQ=$\sqrt{2}$$\sqrt{{m}^{2}-4\sqrt{3}}$，根据S_△MPQ=$\frac{1}{2}$PQ•h，得到PQ为定值，于是得到PQ边上的高有最大值时，即存在面积的最大值，当m无限向x轴右侧运动时，（或向y轴的上方运动时）h的值无限增大，于是得到不存在最大的h，即△MPQ的面积不存在最大值．

解答 解：（1）过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，如图1，
当x=0时，y=m，
∴A（0，m）；
当y=0时，x=m，
∴B（m，0）．
∴△ABO为等腰直角三角形
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴△ADF和△BCE也是等腰直角三角形
设M（a，b），则ab=$\sqrt{3}$，CE=b，DF=a
∴AD=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$a，BC=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{2}$b
∴AD•BC=$\sqrt{2}$a•$\sqrt{2}$b=2ab=2$\sqrt{3}$．
（2）将y=-x+m代入双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，整理得：x²-mx+$\sqrt{3}$=0，
设x₁、x₂是方程x²-mx+$\sqrt{3}$=0的两个根（x₁＜x₂），
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=$\sqrt{3}$．
∵PQ=3$\sqrt{2}$，直线的解析式为y=-x+m，
∴x₂-x₁=3=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-4\sqrt{3}}$，
解得：m=±$\sqrt{9+4\sqrt{3}}$；
（3）由上述结论知x₁=y₂，x₂=y₁，且AO=BO=y₁+y₂=x₁+x₂=m    ①，
∵x₁x₂=$\sqrt{3}$   ②，
∴P，Q两点的坐标可表示为P（x₁，x₂），Q（x₂，x₁），
∴PQ=$\sqrt{2}$（x₂-x₁），
∵（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=m²-4$\sqrt{3}$，
∴PQ=$\sqrt{2}$$\sqrt{{m}^{2}-4\sqrt{3}}$，
∵S_△MPQ=$\frac{1}{2}$PQ•h，∵PQ为定值，
∴PQ边上的高有最大值时，即存在面积的最大值，
当m无限向x轴右侧运动时，（或向y轴的上方运动时）h的值无限增大，
∴不存在最大的h，即△MPQ的面积不存在最大值．

点评 本题主要考查了正方形、直角三角形以及反比例函数的图象和性质，勾股定理，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．