Question

17．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠B=∠D，AB=AD，∠BAD=∠CAE．
（1）若∠AEC=60°，将△ADE绕点A逆时针旋转后与△ABC重合，求旋转角的度数
（2）若AC=4，BC=7，∠AEC=60°，求△ABE的面积．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAE可得∠CAB=∠EAD，再结合条件可证明△ABC≌△ADE，由全等三角形的性质即可得到AC=AE，进而得出△AEC是等边三角形，故可得出旋转角；
（2）首先得出BE的长，进而得出△ABE的高，即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB，
即∠CAB=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠DAE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
∴AC=AE，
∵∠AEC=60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠EAC=60°，
∴旋转角的度数为60°；

（2）过点A作AF⊥BC于点F，
由（1）可得：△AEC是等边三角形，
则EC=AC=4，
故BE=BC-EC=7-4=3，
AF=AE•cos60°=2$\sqrt{3}$，
故△ABE的面积为：$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定以及旋转的性质和三角形面积求法、等边三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．