Question

如图，已知直线y=-

1

2

x+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．

（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒

5

个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）可先根据AB所在直线的解析式求出A，B两点的坐标，即可得出OA、OB的长．过D作DM⊥y轴于M，则△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的长，也就能求出D的坐标，同理可求出C的坐标；
（2）可根据A、C、D三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）要分三种情况进行讨论：
①当F点在A′B′之间时，即当0＜t≤1时，此时S为三角形FBG的面积，可用正方形的速度求出AB′的长，即可求出B′F的长，然后根据∠GFB′的正切值求出B′G的长，即可得出关于S、t的函数关系式．
②当A′在x轴下方，但C′在x轴上方或x轴上时，即当1＜t≤2时，S为梯形A′GB′H的面积，可参照①的方法求出A′G和B′H的长，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高为A′B′即正方形的边长，可根据梯形的面积计算公式得出关于S、t的函数关系式．
③当D′逐渐移动到x轴的过程中，即当2＜t≤3时，此时S为五边形A′B′C′HG的面积，S=正方形A′B′C′D′的面积-三角形GHD′的面积．可据此来列关于S，t的函数关系式；
（4）CE扫过的图形是个平行四边形，经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形BCD′A′的面积．可通过求矩形的面积来求出CE扫过的面积．

解答：解：（1）C（3，2）D（1，3）；

（2）设抛物线为y=ax²+bx+c，抛物线过（0，1）（3，2）（1，3），

c=1 a+b+c=3 9a+3b+c=2

解得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

，
∴y=-

5

6

x²+

17

6

x+1；

（3）①当点A运动到x轴上时，t=1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA=∠GFB′，
tan∠OFA=

OA

OF

=

1

2

，
∴tan∠GFB′=

GB′

FB′

=

GB′

5 t

=

1

2

，
∴GB′=

5

2

t
∴S_△FB′G=

1

2

FB′×GB′
=

1

2

×

5

t×

5 t

2

=

5

4

t²；
②当点C运动到x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如图2，
A′B′=AB=

22+12

=

5

，
∴A′F=

5

t-

5

，
∴A′G=

5 t- 5

2

，
∵B′H=

5 t

2

，
∴S_{梯形A′B′HG}=

1

2

（A′G+B′H）×A′B′
=

1

2

(

5 t- 5

2

+

5 t

2

)×

5

=

5

2

t-

5

4

；
③当点D运动到x轴上时，t=3，
当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G=

5 t- 5

2

，
∴GD′=

5

-

5 t- 5

2

=

3 5 - 5 t

2

，
∵S_△AOF=

1

2

×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H
∴

S△GD′H

S△AOF

=(

GD′

OA

)2，
∴S△GD′H=(

3 5 - 5 t

2

)2，
∴S_{五边形GA′B′C′H}=（

5

）²-（

3 5 - 5 t

2

)2
=-

5

4

t²+

15

2

t-

25

4

；

（4）∵t=3，BB′=AA′=3

5

，
∴S_阴影=S_{矩形BB′C′C}=S_{矩形AA′D′D}
=AD×AA′=

5

×3

5

=15．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形平移变换、三角形相似等重要知识点，（3）小题中要根据正方形的不同位置分类进行讨论，不要漏解．