Question

10．阅读下文，寻找规律：
已知x≠1，观察下列各式：（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）填空：（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸．
（2）观察上式，并猜想：
①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=x¹¹-1．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=-63．
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴-1．

Answer 1

分析 （1）仿照上面等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，计算即可得到结果’
（3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸；
（2）①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=-（1-x¹¹）=x¹¹-1；
（3）①原式=1-2⁶=1-64=-63；
②原式=-（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³）=-（1-2²⁰¹⁴）=2²⁰¹⁴-1．
故答案为：（1）1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷；（2）①1-xⁿ⁺¹；②x¹¹-1；（3）①-63；②2²⁰¹⁴-1．

点评 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．