【题目】如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于点C,AD交⊙O于点E,AC平分∠BAD,连接BE.
(1)求证:CD⊥ED;
(2)若CD=4,AE=2,求⊙O的半径.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)⊙O的半径为.
【解析】
(Ⅰ)连接OC,根据CD切⊙O于点C得出OC⊥DC,由OA=OC,得出∠OAC=∠OCA,则可证明∠OCA=∠DAC,证得OC∥AD,根据平行线的性质即可证明;
(Ⅱ)根据圆周角定理证得∠AEB=90°,根据垂径定理证得EF=BF,进而证得四边形EFCD是矩形,从而证得BE=8,然后根据勾股定理求得AB,即可求得半径.
解:(Ⅰ)证明:连接OC,交BE于F,由DC是切线得OC⊥DC;
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠OAC.
∴∠OCA=∠DAC,
∴OC∥AD,
∴∠D=∠OCD=90°
即CD⊥ED.
(Ⅱ)∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,
∵∠D=90°,∴∠AEB=∠D,
∴BE∥CD,
∵OC⊥CD,∴OC⊥BE,
∴EF=BF,
∵OC∥ED,
∴四边形EFCD是矩形,
∴EF=CD=4,∴BE=8,
∵AE=2,
∴AB===2
∴⊙O的半径为.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线向右平移2个单位得到抛物线,且平移后的抛物线经过点.
求平移后抛物线的表达式;
设原抛物线与y轴的交点为B,顶点为P,平移后的新抛物线的对称轴与x轴交于点M,求的度数.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.
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【题目】如图,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),点的坐标为,与轴交于点,直线与轴交于点.动点在抛物线上运动,过点作轴,垂足为,交直线于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点在线段上时,的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;
(3)点是抛物线对称轴与轴的交点,点是轴上一动点,点在运动过程中,若以为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点的坐标.
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【题目】已知抛物线.
(1)求证:该抛物线与x轴总有交点;
(2)若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5,求m的取值范围;
(3)设抛物线与轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M,求的值.
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【题目】若关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
(1)求m的取值范围;
(2)若x=1是方程的一个根,求m的值和另一个根.
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为4cm,∠A=60°,弧BD是以点A为圆心,AB长为半径的弧,弧CD是以点B为圆心,BC长为半径的弧,则阴影部分的面积为( )
A. 2cm2B. 4cm2C. 4cm2D. πcm2
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【题目】如图,在中,,以为圆心,任意长为半径画弧分别交于点和,再分别以为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧交于点,连结并延长交于点,则下列说法中正确的个数是()
①点到的两边距离相等;
②点在的中垂线上;
③
④
A. B. C. D.
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【题目】小涛根据学习函数的经验,对函数的图像与性质进行了探究,下面是小涛的探究过程,请补充完整:
(1)下表是与的几组对应值
... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | ||
... | -8 | -3 | 0 | m | n | 1 | 3 | ... |
请直接写出:=, m=, n=;
(2)如图,小涛在平面直角坐标系中,描出了上表中已经给出的部分对应值为坐标的点,再描出剩下的点,并画出该函数的图象;
(3)请直接写出函数的图像性质:;(写出一条即可)
(4)请结合画出的函数图象,解决问题:若方程有三个不同的解,直接写出的取值范围.
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