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    10．阅读材料
    材料1：“上海自来水来自海上”是耳熟能详的回文对联，数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：22、131、1991、123321、…，像这样的数我们叫它“回文数”．
    材料2：如果一个三位数$\overline{abc}$，满足a+b+c=8，我们就称这个三位数为“吉利数”．
    （1）请直接写出既是“回文数”又是“吉利数”的所有三位数；
    （2）三位数$\overline{abc}$
    ①$\overline{abc}$是大于500的“回文数”；
    ②$\overline{abc}$的各位数字之和等于k是一个完全平方数；
    求这个三位数$\overline{abc}$（请写出必要的推理过程）．

    分析 （1）由一个三位数既是“回文数”又是“吉利数”，可由a+b+c=8且a=c去分析求解即可求得答案；
    （2）由$\overline{abc}$是大于500的“回文数”，可得10≤a+b+c＜30，又由$\overline{abc}$的各位数字之和等于k是一个完全平方数，可得a+b+c=16或a+b+c=25，然后由a=c，去分析求解即可求得答案．

    解答 解：（1）∵一个三位数既是“回文数”又是“吉利数”，
    ∴当a=c=1时，b=6，
    当a=c=2时，b=4；
    当a=c=3时，b=2，
    当a=c=4时，b=0，
    ∴既是“回文数”又是“吉利数”的三位数有：161，242，323，404；

    （2）∵$\overline{abc}$是大于500的“回文数”，
    ∴5≤a＜10，b＜10，5≤c＜10，
    ∴10≤a+b+c＜30，
    ∵$\overline{abc}$的各位数字之和等于k是一个完全平方数，
    ∴a+b+c=k2，
    ∴a+b+c=42=16或a+b+c=52=25，
    又∵$\overline{abc}$是大于500的“回文数”，
    ∴①若a+b+c=16，
    则当a=c=5时，b=6；
    当a=c=6时，b=4；
    当a=c=7时，b=2；
    当a=c=8时，b=0；
    ②若a+b+c=25，
    则当a=c=8时，b=9；
    当a=c=9时，b=7；
    ∴这个三位数$\overline{abc}$是：565，646，727，808，898，979．

    点评 此题考查了完全平方数的应用．注意理解题意，利用分类讨论思想求解是关键．

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