Question

12．如图，直线l₁⊥x轴于点（1，0），直线l₂⊥x轴于点（2，0），直线l₃⊥x轴于点（3，0），…，直线l_n⊥x轴于点（n，0）（n为正整数）．函数y=x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…，l_n分别交于点A₁，A₂，A₃，…，A_n；函数y=2x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…，l_n分别交于点B₁，B₂，B₃，…，B_n．如果△OA₁B₁的面积记作S，四边形A₁A₂B₂B₁的面积记作S₁，四边形A₂A₃B₃B₂的面积记作S₂，…，四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积记作S_n，那么S₂₀₁₂=2012$\frac{1}{2}$．S_n=$\frac{2n+1}{2}$．

Answer 1

分析 函数y=x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…，l_n分别交于点A₁，A₂，A₃，…，A_n，根据各直线与x中的交点坐标分别得到点B₁，B₂，B₃，…，B_n，A₁，A₂，A₃，…，A_n的坐标，由函数y=2x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…，l_n分别交于点B₁，B₂，B₃，…，B_n，得出点B₁，B₂，B₃，…，B_n的坐标，由A₁和B₁的纵坐标之差求出A₁B₁的长，以A₁B₁为底，由A₁的横坐标为高，利用三角形的面积公式求出△OA₁B₁的面积S，同理求出△OA₂B₂的面积，用△OA₂B₂的面积-△OA₁B₁的面积，得出四边形A₁A₂B₂B₁的面积，即为S₁的值；同理求出四边形A₂A₃B₃B₂的面积，即为S₂的值；以此类推，表示出四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积，即S_n，将n=2012代入总结的规律中即可求出四边形A₂₀₁₂A₂₀₁₃B₂₀₁₃B₂₀₁₂的面积S₂₀₁₂的值．

解答 解：由题意得：点A₁（1，1），A₂（2，2），A₃（3，3），…，A_n（n，n），
点B₁（1，2），B₂（2，4），B₃（3，6），…，B_n（n，2n），
∴△OA₁B₁的面积S=$\frac{1}{2}$×（2-1）×1=$\frac{1}{2}$，△OA₂B₂的面积为$\frac{1}{2}$×（4-2）×2=2，
∴四边形A₁A₂B₂B₁的面积记作S₁=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
又△OA₃B₃的面积为$\frac{1}{2}$×（6-3）×3=$\frac{9}{2}$，
∴四边形A₂A₃B₃B₂的面积记作S₂=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$；
以此类推，S_n=$\frac{2n+1}{2}$，
则S₂₀₁₂=$\frac{4025}{2}$=2012$\frac{1}{2}$．
故答案为：2012$\frac{1}{2}$，$\frac{2n+1}{2}$．

点评 此题考查了一次函数的性质，三角形的面积求法，利用了转化的数学思想，是一道规律型题，锻炼了学生归纳总结的能力．