Question

如图1，在x轴正半轴上以OB为斜边、BC为直角边向第一象限分别作等腰Rt△AOB和Rt△CDB． OA=8，BC=4，在∠ABD内有一半径为1，且与AB、BD相切的⊙P．
（1）写出⊙P的圆心坐标；
（2）若△CDB在x轴上以每秒2个单位的速度向左匀速平移，⊙P同时相应在BA和BD上滑动，且保持与BA、BD相切，至⊙P终止运动．设运动时间为t秒，试用含t的代数式表示P点坐标；并证明P点的横、纵坐标之和为定值；
（3）如图2，过D点作x轴的平行线交AB于E，D’B’与AB交于M，在满足（2）的前提下，t取何值时，⊙P可成为△D’EM的内切圆；如果⊙P与DE相切于点F，求△AEF的面积．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可求，点P的横坐标和纵坐标；
（2）由等腰直角三角形BBM的性质可知：设点P的横坐标为8

2

-t，把P点的纵横坐标用t表示出来，从而找出P点的横、纵坐标之间的关系．
（3）当⊙P成为△D′EM的内切圆时，根据内切圆的性质，分别求出D′M，B′M，D′M，BB′，再根据已知关系求出t值，从而求出三角形AEF的面积．

解答：解：

（1）作PM⊥AB，
∵圆P与AB、BD与P相切，
∴BP平分∠ABD，
∵∠ABO=∠DBC，
∴∠ABD=90°，
∴∠PBA=45°，
∴∠ABO+∠PBA=90°，即BP⊥x轴，
而BP=

2

r=

2

，OB=

2

OA=8

2

，
∴点P的横坐标为8

2

，纵坐标为

2

，则P（8

2

，

2

），

（2）根据题意可知，点P的横坐标为8

2

-t，纵坐标为

2

+t，则P（8

2

-t，

2

+t），
因为8

2

-t+

2

+t=9

2

，所以P点的横、纵坐标之和为定值；

（3）当⊙P成为△D′EM的内切圆时，D′M=2+

2

，B′M=4

2

-D′M=3

2

-2，BB′=6-2

2

，
即2t=6-2

2

，得t=3-

2

，
S_△AEF=

1

2

×（

2

+1）（4

2

-

2

-1-3+

2

）=2．

点评：此题是一个动点问题，考查正方形的性质，中位线的性质及图形面积的求法，作为压轴题，综合了初中阶段的重点知识，能够培养同学们综合运用知识的能力．