Question

【题目】某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．

（1）甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？

（2）由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务（每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算），且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？

Answer 1

【答案】（1）甲公司每月计划施工1.2km，乙公司每月施工1km；（2）甲公司施工37个月，乙公司施工18个月，总费用最少．

【解析】

（1）设乙公司每月计划施工x km，则甲公司每月施工1.2x km，根据乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，列方程求解；

（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55-m）个月，共支付的总费用为w亿元，根据题意列出w与m的函数关系式并根据甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍确定m的取值范围，然后利用一次函数的性质求最值．

解：设乙公司每月计划施工x km，则甲公司每月施工1.2x km，

根据题意，得

解得，x=1

经检验，x=1是原方程的根，

∴1.2x=1.2×1=1.2

因此，甲公司每月计划施工1.2km，乙公司每月施工1km．

（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55-m）个月，共支付的总费用为w亿元，则

w=1.2×6·m+1×5·（55-m）=7.2m+275-5m=2.2m+275

∵k=2.2＞0，w随着m的增大而增大，

∵甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，

∴，

∴，

∴当m=37时，w有最大值，

55-37=18，

因此，甲公司施工37个月，乙公司施工18个月，总费用最少．