Question

平面直角坐标系中，原点到直线y=kx+b的距离公式为d=

|b|

k2+1

，根据这个公式解答下列问题：
（1）原点到直线y=-

4

3

x+4的距离为

 

．
（2）若原点到y=（1-k）x+2k的距离为该直线与y轴交点到原点距离的一半，则k=

 

．
（3）若（1）中的直线与y轴、x轴交于A、B两点，直线AC与x轴交于C点，若∠ABC的邻补角是∠ACB的邻补角的2倍，求原点到直线AC的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意，b=4，k=-

4

3

，代入公式，解答出即可；
（2）由题意，该直线与y轴交点到原点距离的一半，即当x=0时，y=2k的一半，所以

|2k|

(1-k)2+ 1

=|k|，解答出即可；
（3）作∠ABG的平分线BH，过A作AC′∥BH，根据边角关系可得出OC′的长，则可得出OC的长，进而求出直线AC的解析式，代入公式即可求出距离．

解答：解：（1）∵b=4，k=-

4

3

，
∴d=

4

(- 4 3 )2+1

=

12

5

；

（2）根据题意得，

|2k|

(1-k)2+ 1

=|k|，
解得k=1±

3

；

（3）由题意得，点A（0，4），B（3，0），则AB=5，
如图，∵∠ABC的邻补角是∠ACB的邻补角的2倍，
∴点C只能在线段OB上，2∠ACO=∠ABG，
作∠ABG的平分线BH，过A作AC′∥BH，
∴∠AC′C=∠HBG=∠ABH=∠C′AB=∠ACO，
∴BC′=AB=5，由OB=3，
∴OC′=2，
∵∠AC′C=∠ACO，
∴AC′=AC，又AO⊥CC′，
∴OC=OC′=2，
∴C（2，0），
∴直线AC的解析式为y=-2x+4，
∴d=

|4|

(-2)2+ 1

=

4 5

5

．

点评：本题主要考查了一次函数综合题，点到直线的距离等知识，（3）小题中，作辅助线根据边角关系得出OC的长，是解答的关键．