Question

【题目】如图，中，，，，是线段上的一个动点，以为直径作分别交、于、，连接，当线段长度取最小值时，______.

Answer 1

【答案】

【解析】

连结OE、OF，作OG⊥EF于G，AH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r，易得△ABH为等腰直角三角形，则可求出AH的长，根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，于是根据圆周角定理得到∠EOF=2∠BAC=120°，则∠OEF=30°，接着根据垂径定理得EG=FG，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到EG=OG=r，则EF=2EG=r，由于AD为⊙O的直径，利用垂线段最短得AD=AH=6时，AD最短，半径最小，EF最小，此时CD=CH，接着利用75°的正切值求出CH，从而得到CD的长．

连结OE、OF，作OG⊥EF于G，AH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r．

∵∠ABC=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH=AB=×6=6．

∵∠BCA=75°，∠ABC=45°，∴∠BAC=180°﹣75°﹣45°=60°，∴∠EOF=2∠BAC=120°．

∵OE=OF，∴∠OEF=30°．

∵OG⊥EF，∴EG=FG．在Rt△OEG中，OG=OE=r，∴EG=OG=r，∴EF=2EG=r．

∵AD为⊙O的直径，∴当AD=AH=6时，AD最短，半径最小，EF最小，此时CD=CH．在Rt△ACH中，tan∠ACH=tan75°==2+，∴CH==，∴此时CD的长为．

故答案为：．