Question

【题目】已知：在菱形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，过点 E 作 EF AC 于点 F，交 BC 边于点 G， 交 AB 延长线于点 H．

(1)如图 1，求证：BH=DE；

(2)如图 2，当点 E 是 CD 边中点时，连接对角线 BD 交对角线 AC 于点 O，连接 OG、OE，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图 2 中所有的平行四边形(菱形除外）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）平行四边形BHED，平行四边形BHGO，平行四边形OGED，平行四边形OBGE．

【解析】

（1）证△GFC≌△EFC（ASA），得出CG=CE，∠CGF=∠CEF，证出∠H=∠BGH，得出BH=BG，进而得出结论；
（2）由菱形的性质和三角形中位线定理即可得出答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，AC平分∠BCD，
∴∠GCF=∠ECF，
∵EF⊥AC，
∴∠GFC=∠EFC=90°，
在△GFC和△EFC中，

，
∴△GFC≌△EFC（ASA），
∴CG=CE，∠CGF=∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠CEF，
∵∠BGH=∠CGF，
∴∠H=∠BGH，
∴BH=BG，
∵BC=CD，CG=CE，
∴BC-CG=CD-CE，
即BG=DE；
（2）所有的平行四边形（菱形除外）为平行四边形BHED、平行四边形BHGO、平行四边形OGED、平行四边形OBGE；

理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
由（1）得：CG=CE，BH=BG=DE，
∴四边形BHED为平行四边形，
∵点E是CD边中点，BC=CD，
∴CE=DE=BG=CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，OB=OD，
∴OE、OG都是△BCD的中位线，
∴OE∥BG，OG∥CD∥AB，OG=CD=DE=BH，OE=BC=BG，
∴四边形OBGE、四边形BHGO、四边形OGED都是平行四边形．