已知函数y=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{12}{x}（{x＞0}）\\ \frac{3}{x}（{x＜0}）\end{array}$的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 ①错误．因为x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，所以y1＞y2；
②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题；
③正确．设P（0，m），则B（$\frac{3}{m}$，m），A（-$\frac{12}{m}$，m），可得PB=-$\frac{3}{m}$，PA=-$\frac{12}{m}$，推出PA=4PB，SAOB=S△OPB+S△OPA=$\frac{3}{2}$+$\frac{12}{2}$=7.5；
④正确．设P（0，m），则B（$\frac{3}{m}$，m），A（-$\frac{12}{m}$，m），推出PB=-$\frac{3}{m}$，PA=-$\frac{12}{m}$，OP=-m，由△OPB∽△APO，可得OP2=PB•PA，列出方程即可解决问题；
解答 解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，
∴y1＞y2，故①错误．
②正确．∵P（0，-3），
∴B（-1，-3），A（4，-3），
∴AB=5，OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AB=AO，
∴△AOB是等腰三角形，故②正确．
③正确．设P（0，m），则B（$\frac{3}{m}$，m），A（-$\frac{12}{m}$，m），
∴PB=-$\frac{3}{m}$，PA=-$\frac{12}{m}$，
∴PA=4PB，
∵SAOB=S△OPB+S△OPA=$\frac{3}{2}$+$\frac{12}{2}$=7.5，故③正确．
④正确．设P（0，m），则B（$\frac{3}{m}$，m），A（-$\frac{12}{m}$，m），
∴PB=-$\frac{3}{m}$，PA=-$\frac{12}{m}$，OP=-m，
∵∠AOB=90°，∠OPB=∠OPA=90°，
∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°，
∴∠BOP=∠OAP，
∴△OPB∽△APO，
∴$\frac{OP}{AP}$=$\frac{PB}{OP}$，
∴OP2=PB•PA，
∴m2=-$\frac{3}{m}$•（-$\frac{12}{m}$），
∴m4=36，
∵m＜0，
∴m=-$\sqrt{6}$，
∴A（2$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$），故④正确．
∴②③④正确，
故选C．
点评 本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
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