A. | ①②③ | B. | ②③④ | C. | ①③④ | D. | ①②④ |
分析 设点P的坐标为(m,$\frac{4}{m}$)(m>0),则A(m,$\frac{1}{m}$),C(m,0),B($\frac{m}{4}$,$\frac{4}{m}$),D(0,$\frac{4}{m}$).①根据反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ODB=S△OCA,该结论正确;②由点的坐标可找出PA=$\frac{3}{m}$,PB=$\frac{3m}{4}$,由此可得出只有m=2是PA=PB,该结论不成;③利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k的几何意义即可得知该结论成立;④结合点的坐标即可找出PA=$\frac{3}{m}$,AC=$\frac{1}{m}$,由此可得出该结论成立.综上即可得出正确的结论为①③④.
解答 解:设点P的坐标为(m,$\frac{4}{m}$)(m>0),则A(m,$\frac{1}{m}$),C(m,0),B($\frac{m}{4}$,$\frac{4}{m}$),D(0,$\frac{4}{m}$).
①S△ODB=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$,S△OCA=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$,
∴△ODB与△OCA的面积相等,①成立;
②PA=$\frac{4}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{m}$,PB=m-$\frac{m}{4}$=$\frac{3m}{4}$,
令PA=PB,即$\frac{3}{m}$=$\frac{3m}{4}$,
解得:m=2.
∴当m=2时,PA=PB,②不正确;
③S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=4-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=3.
∴四边形PAOB的面积大小不会发生变化,③正确;
④∵PA=$\frac{4}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{m}$,AC=$\frac{1}{m}$-0=$\frac{1}{m}$,
∵$\frac{3}{m}$=3×$\frac{1}{m}$,
∴PA=3AC,④正确.
综上可知:正确的结论有①③④.
故选C.
点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及利用分割图形法求图形面积,解题的关键是找出各点坐标再结合反比例函数系数k的几何意义逐项分析各结论是否正确.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键.
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A. | p=1,q=-12 | B. | p=-1,q=-12 | C. | p=7,q=12 | D. | p=7,q=-12 |
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