Question

19．已知点P是正方形ABCD对角线AC上的一点，请探究线段PA，PC，PB的关系式，并写出证明过程．

Answer 1

分析 PC²+PA²=2PB²，如图1，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．证明∠PCP′=∠BCP′+∠ACB=45°+45°=90°，利用勾股定理得到PC²+P′C²=PP^′2，即PC²+AP²=PP^′2，在Rt△PBP′中，利用勾股定理得到BP²+BP^′2=PP^′2，即2BP²=PP^′2，所以PC²+AP²=2BP^′2．

解答 解：PC²+PA²=2PB²，
如图1，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．

∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′=90°，
∴BP=BP′，AP=P′C，∠BAP=∠BCP′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAP=∠BCP=45°，
∴∠BCP′=45°，
∴∠PCP′=∠BCP′+∠ACB=45°+45°=90°，
∴PC²+P′C²=PP^′2
∴PC²+AP²=PP^′2，
在Rt△PBP′中，BP²+BP^′2=PP^′2，
∵BP=BP′，
∴2BP²=PP^′2，
∴PC²+AP²=2BP^′2．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．