Question

如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．

（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）求∠BAC的度数；
（3）在线段BC所经过的格点上是否存在一点Q（点P除外），使得以A、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请标出点Q的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）△PBA与△ABC相似，利用勾股定理计算出AB的长，利用由两边的比值和一个夹角相等的两个三角形相似可证明结论成立；
（2）由（1）可知：∠BAC=∠BPA，因为∠BPA易求，问题得解；
（3）在线段BC所经过的格点上存在一点Q（点P除外），使得以A、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

解答：解：（1）△PBA与△ABC相似，
理由如下：
∵AB=

22+12

=

5

，BC=5，BP=1，
∴

BP

AB

=

BA

BC

=

5

5

，
∵∠PBA=∠ABC，
∴△PBA∽△ABC；
（2）∵△PBA∽△ABC，
∴∠BAC=∠BPA，
∵∠BPA=90°+45°=135°，
∴∠BAC=135°．
（3）存在，理由如下：如图所示：
∵BC=5，QC=2，AC=

10

，
∴

QC

AC

=

AC

BC

=

10

5

，
又∵∠QCA=∠ACB，
∴△QCA∽△ABC．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了相似三角形的证明和相似三角形对应边比值相等的性质，本题中分别求AB，BC，BP三边长是解题的关键．