Question

小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．
①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？
②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．

Answer 1

分析：①在△OCM和△ODN中，得出OC=OD，进而得出Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB．
②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．

解答：①证明：在△OCM和△ODN中，

∠COM=∠DON ∠OCM=∠ODN=90° OM=ON

，
∴△OCM≌△ODN（AAS），
∴OC=OD，
在△OCP与△ODP中，
∵

OC=OD OP=OP

，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
即OP平分∠AOB；

②解：a．利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OC=OD；
b．过C，D分别作OA，OB的垂线，两垂线交于点E；
c．作射线OE，OE就是所求的角平分线．
∵CE⊥OA，ED⊥OB，
∴∠OCE=∠ODE=90°，
在Rt△OCE与Rt△ODE中，
∵

OC=OD OE=OE

，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴∠EOC=∠EOD，
∴OE为∠AOB的角平分线．

点评：此题主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的判定得出∠EOC=∠EOD是解题关键．