Question

6．已知关于x的方程mx²+2x-1=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有两个实数根x₁，x₂，求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由关于x的方程mx²+2x-1=0有实数根，分两种情况：①m=0时，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，为一元二次方程，由判别式△≥0，可得2²-4×m×（-1）≥0，解此不等式即可求得答案；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{2}{m}$，x₁x₂=-$\frac{1}{m}$，再代入$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，计算即可求解．

解答 解：（1）分两种情况：
①m=0时，原方程即为2x-1=0，为一元一次方程，必有实数根；
②m≠0时，原方程为一元二次方程．
△=2²-4×m×（-1）=4+4m≥0，
解得：m≥-1，
即m≥-1且m≠0．
综上可知m≥-1；

（2）∵x₁+x₂=-$\frac{2}{m}$，x₁x₂=-$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-\frac{2}{m}}{-\frac{1}{m}}$=2．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．