Question

已知方程x²-3x+a+4=0有两个整数根．
（1）求证：这两个整数根一个是奇数根，一个是偶数根；
（2）求证：a是负数；
（3）当方程的两个整数根同号时，求a的值及这两个根．

Answer 1

分析：（1）根据两根之和为奇数即可证明．
（2）根据△≥0即可证明．
（3）根据根与系数的关系求出两个根的值，然后求出a即可．

解答：解：（1）∵方程x²-3x+a+4=0有两个整数根，设这两个整数根为：x₁，x₂，
根据根与系数的关系：x₁+x₂=3为奇数，
∵x₁，x₂都是整数，
∴根据两个整数的和为奇数可知：这两个整数根一个是奇数根，一个是偶数根；

（2）△=9-4（a+4）=9-16-4a≥0，
解得：a≤-

7

4

，
故a是负数即为所证；

（3）当方程的两个整数根同号时，
∵x₁+x₂=3为奇数，
∴x₁=1，x₂=2，
∴x₁x₂=a+4=2，
解得：a=-2，
∴方程两个根为：x₁=1，x₂=2，a的值为-2．

点评：本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是正确运用x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反过来可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．