练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度．
    （1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；
    （2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．
    【答案】分析：（1）根据两角对应相等证明Rt△ABE∽Rt△ECD，然后根据相似三角形的对应边的比相等求得CD的长，再运用勾股定理就可计算出AD的长；
    （2）可以证明Rt△ABE≌Rt△ECD，得到对应线段相等，根据图形就可得到线段之间的和差关系．
    解答：解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
    ∴∠ABE=∠ECD=90°．
    ∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
    ∴∠CED=90°-∠BEA．
    又∵∠BAE=90°-∠BEA，
    ∴∠BAE=∠CED．
    ∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
    ∴．
    ∵BE：EC=1：3  BC=16，
    ∴BE=4，EC=12．
    又∵AB=6，
    ∴CD==8．
    在Rt△AED中，由勾股定理得
    AD==2．

    （2）（i）猜想：AB+CD=BC．
    证明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°
    ∴∠BAE=90°-∠AEB，
    又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
    ∴∠CED=90°-∠AEB．
    ∴∠BAE=∠CED．
    ∵DC⊥BC于点C，
    ∴∠ECD=90°．
    由已知，有AE=ED，
    于是在Rt△ABE和Rt△ECD中，
    ∵，
    ∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
    ∴AB=EC，BE=CD．
    ∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．

    （ii）当A，D分别在直线l两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系：
    AB-CD=BC（AB＞CD）或CD-AB=BC（AB＜CD）．
    点评：此题考查了圆的有关知识、相似三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度．
    （1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；
    （2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度．
    （1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；
    （2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．作业宝

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：江苏期中题 题型：解答题

    已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度.
    （1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；
    （2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：第24章《相似形》中考题集（18）：24.3 相似三角形的性质（解析版） 题型：解答题

    已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度．
    （1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；
    （2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2009年全国中考数学试题汇编《图形的相似》（04）（解析版） 题型：解答题

    （2009•成都）已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度．
    （1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；
    （2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案