如图.以A为顶点的抛物线l2是由抛物线l1:y=x2沿x轴向右平移2个单位后得到的.两抛物线相交于点M.抛物线l2与y轴交于点D.以OD为边向右作正方形ODCB.P为抛物线l1上一点.其横坐标为m.且点P不与点M重合.过点P作PQ∥y轴.交抛物线l2于点Q.将PQ绕点P逆时针旋转90°.得到线段PE.连结EQ．(1)求点M坐标．(2)求△PEQ与正方形ODCB的重叠部分图形面� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图，以A为顶点的抛物线l₂是由抛物线l₁：y=x²沿x轴向右平移2个单位后得到的，两抛物线相交于点M，抛物线l₂与y轴交于点D，以OD为边向右作正方形ODCB，P为抛物线l₁上一点，其横坐标为m（0≤m≤2），且点P不与点M重合，过点P作PQ∥y轴，交抛物线l₂于点Q，将PQ绕点P逆时针旋转90°，得到线段PE，连结EQ．
（1）求点M坐标．
（2）求△PEQ与正方形ODCB的重叠部分图形面积S与m之间的函数关系式．
（3）当点E落在抛物线l₁或l₂上时，求m的值．
（4）直接写出△PEQ的一边被抛物线l₁或l₂平分时m的值．

分析（1）先根据平移规律求出抛物线l₂的解析式，再利用方程组求两函数的交点M的坐标；
（2）利用抛物线的解析式表示出对应P、Q两点的坐标，再确定分界线的位置：当点E在OD上和BC上时m的值，分三种情况计算重叠部分的面积：①点E在OD左侧时，重叠部分是梯形，S就是梯形面积，②△PEQ完全在正方形内，重叠部分就是△PEQ的面积，③点E在BC的右侧时，重叠部分是梯形，S就是梯形面积；还要注意PQ分两种情况计算：①在点M左侧时，PQ=（m²-4m+4）-m²=-4m+4，②在点M右侧时，PQ=m²-（m²-4m+4）=4m-4；
（3）当E在l₁上时，如图⑤，利用PE=PQ列式计算；当E在l₂上时，如图⑥，表示出点E的坐标（m+4m+4，m²），点E在抛物线l₂上，代入解析式，计算出m的值，并根据题意进行取舍．
（4）画出图形依次求出：图⑦，PE被l₁平分；则PE=4m，根据PE=PQ得，4m=-4m+4，m=$\frac{1}{2}$；
图⑧，EQ被l₁平分，找出EQ的中点坐标，代入抛物线l₁的解析式；
图⑨，EQ被l₂平分，找出EQ的中点坐标，代入抛物线l₂的解析式；
图⑩，PE被l₂平分，找出PE的中点坐标，代入抛物线l₂的解析式；

解答解：（1）∵抛物线l₁：y=x²沿x轴向右平移2个单位后得到抛物线l₂，
∴l₂：y=（x-2）²，即y=x²-4x+4，
由x²=（x-2）²，解得x=1，
∴y=x²=1，
∴M（1，1）；
（2）∵对于y=x²-4x+4，当x=0时，y=4，
∴D（0，4），则OD=4，
∵P（m，m²），PQ∥y轴，
∴Q（m，m²-4m+4），
当0≤m＜1时，PQ=（m²-4m+4）-m²=-4m+4，
当1＜m≤2时，PQ=m²-（m²-4m+4）=4m-4，
当E在OD上时，PE=PQ，则m=-4m+4，m=$\frac{4}{5}$，
∴当0≤m≤$\frac{4}{5}$时，如图①，
S=$\frac{1}{2}$[（-4m+4）-m+（-4m+4）]•m
=-$\frac{9}{2}$m²+4m；
当$\frac{4}{5}$＜m＜1时，如图②，
S=$\frac{1}{2}$（-4m+4）²=8（m-1）²；
当E在BC上时，PE=PQ，则4-m=4m-4，m=$\frac{8}{5}$，
当1＜m≤$\frac{8}{5}$时，如图③，S=$\frac{1}{2}$（4m-4）²=8（m-1）²，
当$\frac{8}{5}$＜m≤2时，如图④，S=$\frac{1}{2}$[（m+4m-4-4）+（4m-4）]•（4-m）=-$\frac{9}{2}$m²+24m-24；
（3）当E在l₁上时，如图⑤，2m=-4m+4，
当E在l₂上时，如图⑥，（m+4m-4-2）²=m²，
∴m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=1（舍），
综上，当点E落在抛物线l₁或l₂上时，m的值为$\frac{3}{2}$或$\frac{2}{3}$；

（4）m的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$或$\frac{7}{4}$或2；
如图：⑦～⑩

点评本题考查了二次函数的综合问题，二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．本题的解题思路为：①两函数的交点就是两函数解析式所组成的方程组的解；②求重叠部分图形面积S的关键是能正确画出各种情况的图形，会用解析式表示图形上某点的坐标，注意坐标与线段区别；③利用二次函数求某一字母的值时，将函数知识与方程、正方形、等腰直角三角形有机地结合在一起，恰当地找出等量关系列方程．

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