Question

（1）等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图所示，连接BE，并延长交AD于F，试问AD与BE之间有什么关系？证明你的结论；
（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如下图所示，试问AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，给予证明；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）、（2）通过证明△BEC≌△ADC得到AD与BE的数量关系与位置关系．
解答：解：（1）AD⊥BE，AD=BE，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，
∴DC=EC，∠DCA=∠ECB，AC=BC，
∴△BEC≌△ADC，
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，又∠BEC=∠AEF，∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠AEF+∠DAC=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AD⊥BE．

（2）仍存在．如图，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，
∴DC=EC，AC=BC，∠DCE=∠ACB，
∴∠DCA=∠ECB，
∴△BEC≌△ADC
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，又∠BOC=∠AOE，∠BOC+∠EBC=90°，
∴∠AOE+∠DAC=90°，
∴AD⊥BE．
点评：本题结合旋转，考查了等腰直角三角形的性质．