解:(1)∵拋物线与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0), ∴x1、x2是关于x的方程﹣的解; 方程可化简为x2+2(a﹣1)x+(a2﹣2a)=0; 解方程,得x=﹣a或x=﹣a+2; ∵x1<x2,﹣a<﹣a+2, ∴x1=﹣a,x2=﹣a+2 ∴A、B两点的坐标分别为A(﹣a,0),B(﹣a+2,0); (2)∵AB=2,顶点C的纵坐标为, ∴△ABC的面积等于; (3)∵x1<1<x2, ∴﹣a<1<﹣a+2 ∴﹣1<a<1; ∵a是整数, ∴a=0,即所求拋物线的解析式为y=﹣x2+2x; 此时顶点C的坐标为C(1,)如图,作CD⊥AB于D,连接CQ,则AD=1,CD=,tan∠BAC=, ∴∠BAC=60°由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形; 由△APM和△BPN是等边三角形,线段MN的中点为Q可得,点M、N分别在AC和BC边上,四边形PMCN的平行四边形,C、Q、P三点共线,且PQ=PC; ∵点P线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,DC≤PC<AC,DC=,AC=2, ∴≤PQ<1。 |
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