如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连结DE、OE.
【小题1】试判断DE与⊙O的位置关系并证明
【小题2】求证:BC=2CD·OE;
【小题3】若tanC=,DE=2,求AD的长
【小题1】DE与⊙O相切.……………………………………1分
证明:连接OD,BD。………………………………2分
∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵E是BC的中点,∴DE=BE=CE. ∴∠EBD=∠EDB.
∵OD=OB, ∴∠OBD=∠ODB.
∴∠EDO=∠EBO=90°. ∴DE与⊙O相切.………………4分
【小题2】∵OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE……………5分
∴△ABC∽△BDC.…………………………………………6分
∴= . 即BC2=CD·AC.
∴BC=2CD·OE.……………………………………………7分
【小题3】
解析(3)∵tanC=,∴可设BD=,CD=2x.…………8分
在Rt△BCD中,.解之,得x=±(负值舍去)
∴BD==……………………………………9分
∵tan∠ABD=tan∠C,∴AD=BD=.………………………………10分
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