Question

3．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的B′处，点F在CD上，将△ECF沿EF翻折，点C恰好落在AD上的C′处，若E、B′C′三点共线，则$\frac{CF}{AB}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 设AB=a，连接CC′、AE、EF，根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠DC′C=∠B′C′C，证△DC′C≌△B′C′C，求出DC=CB′=AB′=AB，求出B′C′=B′E，根据全等三角形的性质求出DC′=BE，在Rt△C′DF中，根据勾股定理求出关于C′F的方程，即可求出CF长，即可得出答案．

解答 解：连接CC′、AE、EF，

∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，
又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．
∴EC=EC′，
∴∠B′C′C=∠C′CE，
∵∠DC′C=∠C′CE，
∴∠B′C′C=∠DC′C，
∵∠CB′C′=∠D=90°，
在△CC′D和△CC′B′中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B′C′C=∠DC′C}\\{∠C′DC=∠C′B′C}\\{CC′=CC′}\end{array}\right.$
∴△CC′B′≌△CC′D（AAS），
∴CB′=CD，
又∵AB′=AB，
∴AB′=CB′，
所以B′是对角线AC中点，
即AC=2AB，
所以∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴tan∠BAC=tan60°=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$，
设AB=a，则BC=$\sqrt{3}$a，
∵折叠B和B′重合，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAE=30°，
∴BE=AB×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵B′为AC的中点，
∴B′为EC的中点，
∴四边形AECC′为平行四边形，
∴AC′=CE，
∴C′D=BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
在Rt△C′DF中，根据勾股定理得：C′F²=DF²+C′D²，
CF²=（a-CF）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²，
解得：CF=$\frac{2}{3}$a，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{\frac{2}{3}a}{a}$=$\frac{2}{3}$，
故选B．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出CC′是∠EC′D的平分线是解题关键．