Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，连接CF．

（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探究CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．

②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．

（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由详见解析；②成立，理由详见解析；（2）CF⊥BD，理由详见解析．

【解析】

（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边“证明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；

（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边“证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD.

解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下：

∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，

∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，

∴∠CAF＝∠BAD，

在△ACF和△ABD中， ，

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠FCB＝90°，

∴CF⊥BD；

②成立，理由如下：如图2：

∵∠CAB＝∠DAF＝90°，

∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，

即∠CAF＝∠BAD，

在△ACF和△ABD中， ，

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，

∴CF⊥BD；

（2）如图3，

过点A作AE⊥AC交BC于E，

∵∠BCA＝45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC＝AE，∠AED＝45°，

∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°，

∴∠CAF＝∠EAD，

在△ACF和△AED中， ，

∴△ACF≌△AED（SAS），

∴∠ACF＝∠AED＝45°，

∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°，

∴CF⊥BD．