Question

如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△DEC≌△EDA；

（2）求DF的值；

（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

Answer 1

       （1）证明：由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，

∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，

在△ADE与△CED中

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）解：如图1，∵∠ACD=∠CAE，

∴AF=CF，

设DF=x，则AF=CF=4﹣x，

在RT△ADF中，AD²+DF²=AF²，

即3²+x²=（4﹣x）²，

解得；x=，

即DF=．

（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA

∴

又∵CE=3，AC==5

设PE=x（0＜x＜3），则，即PQ=

过E作EG⊥AC 于G，则PN∥EG，

∴=

又∵在Rt△AEC中，EG•AC=AE•CE，解得EG=

∴=，即PN=（3﹣x）

设矩形PQMN的面积为S

则S=PQ•PN=﹣x²+4x=﹣+3（0＜x＜3）

所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．