Question

17．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF
①请说明DF与EF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由
③连接CF交DE于点G，试比较∠CGD与∠CEF的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 ①作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形；
②由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；
③由①证得△ADF≌△CEF，得到∠ADF=∠CEF，根据外角的性质得到得到∠ADF=∠DGC，然后由等量代换得到∠CGD=∠CEF．

解答 解：①DF=EF，DF⊥EF，
连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
在△ADF与△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠FCE}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴EF⊥DF；
②当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四边形CEFD}=S_△AFC．
③∠CGD=∠CEF；
理由：由①证得△ADF≌△CEF，
∴∠ADF=∠CEF，
∵∠DGC=∠GDF+∠DFG，∠ADF=∠ACF+∠DFG，
∵∠GDF=∠DCF=45°，
∴∠ADF=∠DGC，
∴∠CGD=∠CEF．

点评 该题主要考查了全等三角形的判定、正方形的判定、等腰直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定、正方形的判定、等腰直角三角形的性质．