Question

（2013•本溪）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．
（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC²=AM²+BC²；
（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；
（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN²=AM²+BN²成立吗？
答：

成立

（填“成立”或“不成立”）

Answer 1

分析：（1）过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；
（2）过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；
（3）结论依然成立．

解答：（1）证明：如图1，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∴

AF

BC

=

FO

OC

=

AO

OB

，
∵O为AB中点，
∴OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分线，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²；

（2）解：还成立，
理由是：如图2，
过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∴

AF

BC

=

FO

OC

=

AO

OB

，
∵OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分线，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²；

（3）成立．

点评：本题考查了直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似．