Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=12，设过A，B，C三点的⊙O₁与边CD相交于点E，且

CE

ED

=

5

4

，直线CB与过A，D，C三点⊙O₂的相切．
（1）求边CD的长度；
（2）设⊙O₁，⊙O₂的半径分别为r₁，r₂，求

r1

r2

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由△ACB∽△CDA，∠ABC=∠CAD，进而得出DA⊥AO₁，再由切线的性质可求解线段的长度；
（2）由（1）中可得∠ABC=∠CAD，所以∠DO₂C=∠AO₁C，得出△DO₂C∽△AO₁C，得出对应边成比例，进而可求其比值的大小．

解答：解：（1）连接CO₁，AO₁
由于CB与过A，D，C三点的⊙O₂相切，则∠ACB=∠ADC，又AB∥CD，则∠DCA=∠BAC
∴△ACB∽△CDA
∴∠ABC=∠CAD
而∠ABC=

1

2

∠AO₁C，则∠CAD=

1

2

∠AO₁C，
∴∠DAO₁=∠CAD+∠CAO₁=

1

2

∠AO₁C+∠CAO₁，
∵CO₁=AO₁∴∠ACO₁=∠CAO₁
∴∠DAO₁=

1

2

∠AO₁C+∠CAO₁+∠ACO₁=90°
∴AD与⊙O₁相切，
∴AD²=ED•DC，
而

CE

ED

=

5

4

，
∴ED=

4

9

CD，则12²=

4

9

DC²，
∴DC=18；

（2）在⊙O₂中，∠DO₂C=2∠DAC，在⊙O₁中，∠AO₁C=2∠ABC
由（1）得∠ABC=∠CAD，
∴∠DO₂C=∠AO₁C，
∴等腰三角形△DO₂C∽等腰三角形△AO₁C，则

r1

r2

=

AC

DC

=

AC

18

，
由于CD-AD＜AC＜CD+AD，
∴6＜AC＜30，则

1

3

＜

r1

r2

＜

5

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及圆形切线的性质问题，能够运用其性质熟练解题．