Question

【题目】已知：如图，一次函数y=﹣2x与二次函数y=ax2+2ax+c的图象交于A、B两点（点A在点B的右侧），与其对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D，点C与点D关于x轴对称，且△ACD的面积等于2．
①求二次函数的解析式；
②在该二次函数图象的对称轴上求一点P（写出其坐标），使△PBC与△ACD相似．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2+2ax+c=a（x+1）2+c﹣a，

∴它的对称轴为x=﹣1．

又∵一次函数y=﹣2x与对称轴交于点C，

∴y=2．

∴C点的坐标为（﹣1，2）

（2）

解：①∵点C与点D 关于x轴对称，

∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）．

∴CD=4，

∵△ACD的面积等于2．

∴点A到CD的距离为1，C点与原点重合，点A的坐标为（0，0）．

设二次函数为y=a（x+1）2﹣2过点A，则a=2，

∴y=2x2+4x．

②设P（﹣1，t）．

交点B的坐标为（﹣3，6），D（﹣1，﹣2），C（﹣1，2），A（0，0），

则BC=2 ，PC=t﹣2，CD=4，AD= ，

①当△PBC∽△CAD时， = ，即 = ，

解得t=10，

故点P的坐标为（﹣1，10），

②当△PBC∽△ACD时， = ，即 = ，

解得t= ，

故点P的坐标为（﹣1， ），

综上所述，点P的坐标为（﹣1，10），（﹣1， ）．

【解析】（1）把抛物线对称轴方程x=﹣1代入直线方程，求得相应的纵坐标，易得点C的坐标；（2）①根据点的坐标的对称性易得抛物线顶点坐标D（﹣1，﹣2），故CD=4，结合三角形的面积公式可以求得点A的坐标，将点A的坐标分别代入抛物线解析式为y=a（x+1）2﹣2，利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；②需要分类讨论：△PBD∽△CAD、△PBD∽△ACD．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．