Question

3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA-AC方向运动到点C停止．若△BPQ的面积为y（cm²），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=$\frac{1}{2}$AB=2，BH=$\sqrt{3}$AH=2$\sqrt{3}$，则BC=2BH=4$\sqrt{3}$，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=$\sqrt{3}$x，DQ=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$x，利用三角形面积公式得到y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8-x，BP=4$\sqrt{3}$，DQ=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{1}{2}$（8-x），利用三角形面积公式得y=-$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．

解答 解：如图1，作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=4cm，
∴BH=CH，
∵∠B=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=2，BH=$\sqrt{3}$AH=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2BH=4$\sqrt{3}$，
∵点P运动的速度为$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需8s，Q点运动到C需8s，
当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在Rt△BDQ中，DQ=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²，
当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8-x，BP=4$\sqrt{3}$
在Rt△BDQ中，DQ=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{1}{2}$（8-x），
∴y=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（8-x）•4$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$，
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}（0≤x≤4）}\\{-\sqrt{3}x+8\sqrt{3}（4＜x≤8）}\end{array}\right.$．
故选：D．

点评 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．