Question

15．如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AC、AE交BF于M、N两点，求证：
（1）BF∥EC；
（2）点M、N为BF的三等分点．

Answer 1

分析 （1）根据多边形的内角和定理求出正六边形各个内角的度数，根据正多边形的性质和等腰三角形的性质计算即可证明结论；
（2）证明△ABM、△ANF是等腰三角形，△AMN是等边三角形即可．

解答 证明：（1）∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴各个内角的度数为：$\frac{（6-3）×180°}{6}$=120°，
∵AB=AF，∠BAF=120°，
∴∠ABF=30°，又∠ABC=120°，
∴∠CBF=90°，
同理∠BCE=90°，
∴∠CBF+∠BCE=180°，
∴BF∥EC；
（2）∵∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠BAC=30°，又∠ABF=30°，
∴MB=MA，∠AMN=60°，
同理NA=NF，∠ANM=60°，
∴△AMN的等边三角形，
∴BM=MN=NF，
∴点M、N为BF的三等分点．

点评 本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形各边相等、各个内角相等以及多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解题的关键．