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20.如图,在△ABC中,DE∥BC分别交AB、AC于D、E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F.若BF=a,PC=b,DE与BC间的距离为h,求证:S2=4S1S2

分析 由于DE∥BC,EF∥AB,可知四边形DBFE是?,同时,利用平行线分线段成比例定理的推论,可知△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,从而易得△ADE∽△EFC,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可得S1:S2=a2:b2,由于S1=$\frac{1}{2}$bh,那么可求S2,从而易求4S1S2,又S=ah,容易证出结论.

解答 证明:∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形DBFE为平行四边形,∠AED=∠C,∠A=∠CEF,
∴△ADE∽△EFC,
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=($\frac{DE}{FC}$)2=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$,
∵S1=$\frac{1}{2}$bh,
∴S2=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$×S1=$\frac{{a}^{2}h}{2b}$,
∴4S1S2=4×$\frac{1}{2}$bh×$\frac{{a}^{2}h}{2b}$=(ah)2
而S=ah,
∴S2=4S1S2

点评 本题考查了平行四边形、三角形的面积公式,平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

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