Question

5．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=6，BO=8，OC⊥AB于点C，过点O作直线l∥AB，P为边AB上一动点且不与A、B两点重合，PD⊥l于D，PD交AO（或OB）于点E．
（1）AB=10；OC=$\frac{12}{5}$．
（2）如图1，若△ODE与△AOC全等，求此时AP的长；
（3）如图2，连接OP，当△OPE是等腰三角形时，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理可以求出AB，利用面积法可以求出OC．
（2）由△ODE与△AOC全等，判断出CO=OD=PC，由此即可解决问题．
（3）分两种情形①当点P在OC左侧时，设AP=x，则PC=OD=$\frac{18}{5}$-x，②当点P′在OC左侧时，设BP′=x，则P′C=OD′=$\frac{32}{5}$-x，分别列出方程求出x即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=6，BO=8，OC⊥AB于点C，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$•AB•OC=$\frac{1}{2}$•OA•OB，
∴CO=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{12}{5}$．
故答案分别为10，$\frac{12}{5}$．

（2）如图1中，∵△ODE与△AOC全等，∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠EOD，
∴OD与OC是对应边，
∴OD=OC=$\frac{12}{5}$，
∵PC∥CD，OC∥PD，
∴四边形OCPD是平行四边形，
∴PC=OD=$\frac{12}{5}$．
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，BC=$\frac{32}{5}$
∴AP=AC+CP=6．

（3）如图2中，

①当点P在OC左侧时，设AP=x，则PC=OD=$\frac{18}{5}$-x，
∵PE∥OC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PE}{OC}$，
∴PE=EO=$\frac{2}{3}$x，
∵AP∥DO，
∴$\frac{AP}{DO}$=$\frac{AE}{EO}$，
∴$\frac{x}{\frac{18}{5}-x}$=$\frac{6-\frac{2}{3}x}{\frac{2}{3}x}$，
解得x=$\frac{18}{7}$，
∴AP=$\frac{18}{7}$
②当点P′在OC左侧时，设BP′=x，则P′C=OD′=$\frac{32}{5}$-x，
∵P′E′∥OC，
∴$\frac{P′E′}{OC}$=$\frac{PB′}{BC}$，
∴P′E′=OE′=$\frac{3}{8}$x，
∵BP′∥OD′，
∴$\frac{BP′}{OD′}$=$\frac{BE′}{OE′}$，
∴$\frac{x}{\frac{32}{5}-x}$=$\frac{8-\frac{3}{8}x}{\frac{3}{8}x}$，
解得x=$\frac{64}{13}$，
∴AP′=AB-BP′=$\frac{66}{13}$．
综上所述，当AP=$\frac{18}{7}$或$\frac{66}{13}$时，△OPE是等腰三角形．

点评 本题考查三角形综合题、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会用方程思想思考问题，属于中考常考题型．