Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．

【小题1】（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK______MK（只填“＞”或“＜”）；
【小题2】（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由；
【小题3】（3）如果MK²+CK²=AM²，请直接写出∠CDF的度数和的值．

Answer 1

【小题1】（1）① =" " ………………………………………………………………………2分
② ＞  ………………
【小题2】（2）
＞………………………………………………………………………………………2分
理由：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD="GD" ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．
∵30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK =60°．
∴∠ADM=∠GDM，………………………………………………………………………3分
∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．………………
【小题3】由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK²+CK²=AM²，∴MK²+GK²=GM²，∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，∴∠CKG=90°，∠FKC=∠CKG=45°，
又有（1），得∠A=∠ACD=30°，∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，
在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，∴∠GMK=30°，
∴=∴=

解析