Question

一座拱型桥，桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米．若水面上升3米至EF，则水面宽度EF是多少？
（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图1）可设抛物线的表达式为y=ax²+c．请你填空：
a=

 

，c=

 

，EF=

 

米．
（2）若把它看作是圆的一部分，则可构造图形（如图2）计算如下：
设圆的半径是r米，在Rt△OCB中，易知r²=（r-4）²+10²，r=14.5
同理，当水面上升3米至EF，在Rt△OGF中可计算出GF=

 

，即水面宽度EF=

 

米．
（3）请估计（2）中EF与（1）中你计算出的EF的差的近似值（误差小于0.1米）．

Answer 1

分析：求a、c的值可以利用待定系数法，求出A，D的坐标就可以．计算EF的差的近似值，可以利用函数解析式求出准确值，然后利用垂径定理求出近似值，两者求差．

解答：解：（1）AB是20米，则AC=10米，拱高CD是4米．则A，D的坐标分别是（-10，0），（0，4）
把这两点的坐标代入解析式得到：

100a+c=0 c=4

解得：a=-

1

25

，c=4，
则解析式是y=-

1

25

x²+4．
把y=3代入解析式解得x=±5，则EF=10米．

（2）在Rt△OGF中，由题可知，OF=14.5，OG=14.5-1=13.5，
根据勾股定理知：GF²=OF²-OG²，
即GF²=14.5²-13.5²=28，
所以GF=2

7

，此时水面宽度EF=4

7

米．

（3）误差估计如下：
解法一：∵2.6＜

7

＜2.7，

7

≈2.65，4

7

≈10.6
∴4

7

-10≈0.6．（8分）
∴差的近似值约为0.6米．（9分）
解法二：∵4

7

=

112

在10到11之间，
∴可得10.5＜4

7

=

112

＜10.6，
∴0.5＜4

7

-10＜0.6，（8分）
∴差的近似值约为0.5或0.6米．（9分）

点评：求函数的解析式，常用的方法是待定系数法，涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形求解．