Question

如图（1），一正方形纸板ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处，两边分别与线段AB、AD交于点E、F，设BE=x．
（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．求证：△EOF为等腰直角三角形；
（2）在（1）的条件下，若△EOF的面积为S，求S关于x的函数关系式．
（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．
①若DF=y，求y关于x的函数关系式；
②直接写出△EOF外接圆的最小半径．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的对角线互相平分且相等可得OA=OD，对角线互相垂直可得∠AOD=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠ODF=45°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠DOF，然后利用“角边角”证明△AOE和△DOF全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，然后根据等腰直角三角形的定义证明即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得AE=DF，然后求出AE、AF，再根据勾股定理求出EF²，然后根据等腰直角三角形的面积公式求解即可；
（3）①先求出∠BOE=∠DFO，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BOE和△DFO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到y与x的函数关系式；
②先根据正弦定理表示出△OEF的外接圆的半径，从从而确定出EF最小时，外接圆的半径最小，然后连接EF，表示出AE、AF，利用勾股定理列式求出EF，再利用不等式求出EF的最小值，从而得解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠OAE=∠ODF=45°，
∴∠DOF+∠AOF=90°，
∵∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°，
∴∠AOE=∠DOF，
在△AOE和△DOF中，

∠OAE=∠ODF OA=OD ∠AOE=∠DOF

，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，
∴△EOF为等腰直角三角形；

（2）解：∵△AOE≌△DOF，
∴AE=DF，
∵正方形ABCD的边长为4，BE=x，
∴AE=4-x，AF=BE=x，
在Rt△EOF中，EF²=AE²+AF²=（4-x）²+x²=2x²-8x+16，
∴△EOF的面积为S=

1

4

EF²=

1

2

x²-2x+4；

（3）解：①在正方形ABCD中，∵∠OBE=∠ODF=45°，
∴∠DOF+∠DFO=180°-45°=135°，
∵∠EOF=45°，
∴∠DOF+∠BOE=180°-45°=135°，
∴∠BOE=∠DFO，
∴△BOE∽△DFO，
∴

BE

OD

=

OB

DF

，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OB=OD=2

2

，
∴

x

2 2

=

2 2

y

，
解得y=

8

x

；

②如图，连接EF，设△OEF的外接圆半径为R，则AE=4-x，AF=4-

8

x

，
∵∠EOF=45°，
∴2R=

EF

sin∠EOF

=

EF

sin45°

，
∴EF最小时，△EOF外接圆的半径最小，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

(4-x)2+(4- 8 x )2

=x+

8

x

-4，
∵x+

8

x

≥2

x• 8 x

=4

2

，（当且仅当x=

8

x

，即x=2

2

时取等号），
∴R=

4 2 -4

2× 2 2

=4-2

2

，
即△EOF外接圆的最小半径为4-2

2

．

点评：本题是圆的综合题型，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，以及利用正弦定理求三角形的外接圆的半径，综合性较强，难度较大，利用正弦定理求解外接圆的半径的长是最简便的方法．