Question

【题目】在△ABC中，D是边BC的中点．

（1）①如图1，求证：△ABD和△ACD的面积相等；

②如图2，延长AD至E，使DE=AD，连结CE，求证：AB=EC．

（2）当∠BAC=90°时，可以结合利用以上各题的结论，解决下列问题：

①求证：ADBC(即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)；

②已知BC=4，将△ABD沿AD所在直线翻折，得到△ADB'，若△ADB'与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请画出图形(草图)并求出AC的长度．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）①证明见解析；②作图见解析，AC=2或2．

【解析】

（1）①作△ABC，AB边上的高，根据三角形面积公式即可得出结论；

②证明△ABD≌△ECD，即可证明AB=EC；

（2）①根据△ABD≌△ECD可得AD=DE=，再证△ABC≌△CEA可得BC=AE，由此可得结论；

②分AB＞AC，AB＜AC，AB=AC三种情况讨论，画出对应图，运用分类讨论的数学思想，逐一分类解析，即可解决问题．

解：（1）①过点A作AH⊥BC，垂足为H，

则S△ABDBDAH，S△ACDCDAH．

∵点D是BC中点，

∴BD=CD，

∴△ABD和△ACD的面积相等．

②在△ABD和△ECD中，

，

∴△ABD≌△ECD(SAS)，

∴AB=EC．

（2）①∵△ABD≌△ECD(已证)，

∴∠B=∠ECD；

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∴∠ECD+∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BAC=90°；

在△ABC与△CEA中，

，

∴△ABC≌△CEA(SAS)，

∴BC=AE；

∵ADAE，∴ADBC．

②画草图如下：

(Ⅰ)当AB＞AC时，如图3，由△ADB'与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

结合（1）①题的结论，可以得到点O既即是ABˊ的中点，也是CD的中点，

故四边形ADB'C为平行四边形，

∴AC=BˊD=BDBC=2．

(Ⅱ)当AB＜AC时，

如图4，类比(Ⅰ)可得OA=OC，OB’=OD，

又∵∠AO B’=∠DOC，

∴△AOBˊ≌△COD（SAS），

∴ABˊ=CD=2，∠Bˊ=∠CDO，

又∵∠Bˊ=∠B，

∴∠B=∠CDO，/span>

∴AB∥OD，

∴∠COD=∠BAC=90°，

又∵DO=OBˊ=1，

由勾股定理可得CO，

∴AC=2CO．

(Ⅲ)当 AB=AC时，由等腰三角形的性质可知，

折叠后重合的面积等于△ABC面积的，

不可能等于，所以不合题意，舍去．

综上所述：AC=2或2．