Question

阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”这句话是对还是错？

对

（2）在Rt△ABC中，两边长分别是a=5

2

、c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求（b+c）：a的值．

Answer 1

分析：（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；
（2）分c是斜边和b是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义；
（3）先根据勾股定理得出Rt△ABC各边之间的关系，再根据此三角形是奇异三角形可用a表示出b、c的值，代入（b+c）：a进行计算．

解答：解：（1）对   （填对或错）（2分）

（2）①当c为斜边时，b=

c2-a2

=5

2

∴a=b
∴a²+c²≠2b²（或b²+c²≠2a²），
∴Rt△ABC不是奇异三角形．
②当b为斜边时，b=

c2+a2

=5

6

，
∵a²+b²=200
∴2c²=200
∴a²+b²=2c²
∴Rt△ABC是奇异三角形．    （2分）

（3）（6分）
在Rt△ABC中，a²+b²=c²，
∵c＞b＞a＞0
∴2c²＞a²+b²，2a²＜b²+c²，
∵Rt△ABC是奇异三角形，
∴a²+c²=2b²（3分）
∴2b²=a²+（a²+b²），
∴b²=2a²得b=

2

a
∵c²=a²+b²=3a²，
∴c=

3

a
∴（b+c）：a=（

2

a+

3

a）：a=

2

+

3

．

点评：本题考查的是勾股定理的应用，在解答（2）时要注意分类讨论．