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 如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点D在边AB的延长线上,BD=3,过点D作DE⊥AB,与边AC的延长线相交于点E,以DE为直径作⊙O交AE于点F.

(1)求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离;

(2)连接CD,交⊙O于点G(如图2).求证:点G是CD的中点.


 解:(1)∵∠ACB=90°,AB=5,BC=3,由勾股定理得:AC=4,

∵AB=5,BD=3,

∴AD=8,

∵∠ACB=90°,DE⊥AD,

∴∠ACB=∠ADE,

∵∠A=∠A,

∴△ACB∽△ADE,

==

==

∴DE=6,AE=10,

即⊙O的半径为3;

过O作OQ⊥EF于Q,

则∠EQO=∠ADE=90°,

∵∠QEO=∠AED,

∴△EQO∽△EDA,

=

=

∴OQ=2.4,

即圆心O到弦EF的距离是2.4;…………5分

(2)连接EG,

∵AE=10,AC=4,

∴CE=6,

∴CE=DE=6,

∵DE为直径,

∴∠EGD=90°,

∴EG⊥CD,

∴点G为CD的中点.…………9分


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(2)取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点,连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2,如图27­2­29(3)中阴影部分,求正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积.

(3) 取△A2B2C2和△D2E2F2各边中点,连接成正六角星形A3F3B3D3C3E3,依此法进行下去,试推测正六角星形AnFnBnDnCnEn的面积.

  

图27­2­29

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