Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC并延长至D，使CD=AC，连结BD，作CE⊥BD，垂足为E．
（1）线段AB与DB的大小关系为______，请证明你的结论；
（2）判断CE与⊙O的位置关系，并证明；
（3）当△CED与四边形ACEB的面积之比是1：7时，试判断△ABD的形状，并证明．

Answer 1

解：（1）线段AB=DB．
证明如下：
连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AD．
又∵AC=CD，
∴BC垂直平分线段AD，
∴AB=DB；

（2）CE是⊙O的切线．
证明如下：
连结OC，
∵点O为AB的中点，点C为AD的中点，
∴OC为△ABD的中位线，
∴OC∥BD．
又∵CE⊥BD，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；

（3）△ABD为等边三角形．
证明如下：
由=，
得=，
∴=，
即=，
∴=，=，
∵∠D=∠D，∠CED=∠BCD=90°，
∴△CED∽△BCD，
∴=，即=，
∴=，
在Rt△BCD中，
∵CD=BD，
∴∠CBD=30°，
∴∠D=60°，
又∵AB=DB，
∴△ABD为等边三角形．
分析：（1）首先连接BC，由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由AC=CD，利用三线合一的知识，即可判定AB=DB；
（2）首先连接OC，由点O为AB的中点，点C为AD的中点，根据三角形中位线的性质，可证得OC∥BD，又由CE⊥BD，即可证得CE⊥OC，即得CE与⊙O的切线；
（3）易证得△CED∽△BCD，然后由相似三角形的对应边成比例证得：CD=BD，可求得∠CBD=30°，即可得∠D=60°，则可证得△ABD是等边三角形．
点评：此题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．