Question

18．小慧把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l₂上，0A边与直线l₂重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₂处，小慧又将正方形纸片 AO₁C₁B₁绕顶点B₁按顺时针方向旋转90°，…．正方形纸片OABC按上述方法经过81次旋转，顶点0经过的路程是$\frac{{41+20\sqrt{2}}}{2}π$．

Answer 1

分析 第一次以A为圆心OA为半径的弧长，旋转了90°，第二次以B₁为圆心，正方形的对角线为半径，旋转角为90°，第三次以B₁为圆心，OA长为半径，旋转90°，第四次以O为旋转中心，此时O点没有运动，四次后O点又回到初始状态的相对位置，四次一循环，再利用弧长的计算公式分别计算即可．

解答 解：正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
∵$\frac{90π×1}{180}$×2+$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，根据第四次正方形旋转时O点不动，也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程；
∴$\frac{41+20\sqrt{2}}{2}$=20（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π+$\frac{π}{2}$，
∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．
故答案为81．

点评 此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，确定出前四次O点经过的路线是解题的关键，注意规律的寻找．