Question

2．如图，四边形ABCD中，AB≠CD，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若使四边形EFGH是矩形，四边形ABCD还应满足一个条件AD⊥BC；
若使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足一个条件AD=BC；
请你选择一个，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理，可证明EFGH的对边平行，从而可证明四边形EFGH是平行四边形，
（2）①根据三角形中位线定理和AD⊥BC判断出∠EFG=90°，从而得出平行四边形EFGH是矩形；
②根据三角形中位线定理和AD=BC判断出邻边相等，从而得出平行四边形EFGH是菱形；

解答 证明（1）：四边形EFGH是平行四边形．理由如下：
∵点E、F分别是线段AB、BD的中点，
∴EF∥AD，
同理 HG∥AD，GF∥BC，EH∥BC，
∴EF∥HG，GF∥EH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）①AC⊥BD，
理由：由（1）得EF∥AD，
∵AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵FG∥BC，
∴EF⊥FG，
∴∠EFG=90°，
∵四边形EFGH是平行四边形．
∴平行四边形EFGH是矩形；
②AD=BC，
理由：∵点E、F分别是线段AB、BD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD，
同理FG=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD=BC，
∴EF=FG，
∵四边形EFGH是平行四边形．
∴平行四边形EFGH是菱形；
故答案为AD⊥BC，AD=BC．

点评 此题是中点四边形，主要考查了三角形中位线定理，平行线的性质和判定，中点的定义，解本题的关键是用三角形中位线判断线平行和线段．