Question

（2012•扬州）已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．

解答：解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+3．

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

3k+b=0 b=3

，解得：

k=-1 b=3

∴直线BC的函数关系式y=-x+3；
当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．

（3）抛物线的对称轴为：x=-

b

2a

=1，设M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），则：
MA²=m²+4，MC²=（3-m）²+1=m²-6m+10，AC²=10；
①若MA=MC，则MA²=MC²，得：
m²+4=m²-6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，则MA²=AC²，得：
m²+4=10，得：m=±

6

；
③若MC=AC，则MC²=AC²，得：
m²-6m+10=10，得：m₁=0，m₂=6；
当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，

6

）（1，-

6

）（1，1）（1，0）．

点评：该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．