Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

Answer 1

分析：（1）过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，得到CP=BQ=

1

2

AB，CP+BQ=

1

2

AB=1，得出BC=2CD，由点M是BC的中点，推出CM=CD，由∠C=60°，根据等边三角形的判定即可得到答案；
（2）△AEF的周长存在最小值，理由是连接AM，由ABMD是菱形，得出△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，推出∠BME=∠AMF，证出△BME≌△AMF（ASA），得出BE=AF，ME=MF，推出△EMF是等边三角形，根据MF的最小值为点M到AD的距离

3

，即EF的最小值是

3

，即可求出△AEF的周长．

解答：（1）证明：连接AM，过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，
即AQ∥DP，
∵AD∥BC，
∴四边形ADPQ是平行四边形，
∴AD=QP=AB=CD，
∵∠C=∠B=60°，
∴∠BAQ=∠CDP=30°，
∴CP=BQ=

1

2

AB=1，
即BC=1+1+2=4，
∵CD=2，
∴BC=2CD，
∵点M是BC的中点，
BC=2CM，
∴CD=CM，
∵∠C=60°，
∴△MDC是等边三角形．

（2）解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：
过D作DN⊥BC于N，连接AM，
∵∠C=60°，
∴∠CDN=30°，
∵CD=2，
∴CN=1，
∴由勾股定理得：DN=

3

，
连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME与△AMF中，

∠B=∠FAM BM=AM ∠BME=∠AMF

，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离等于DN的长，即是

3

，即EF的最小值是

3

，
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周长的最小值为2+

3

，
答：存在，△AEF的周长的最小值为2+

3

．

点评：本题主要考查对等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．