【题目】如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N． 
（1）操作发现：如图2，固定点P，使△PEF绕点P旋转，当PM⊥BC时，四边形PMCN是正方形．填空：①当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是；②当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是 ．
（2）猜想论证 如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，则 
= ．
（3）拓展探究 如图4，当四边形ABCD满足条件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使△PEF绕点P旋转，请探究 的值，并说明理由．
【答案】
（1）
a；
（2）
（3）解：如图4，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，则∠HPG=∠DAB
∵∠EPF=∠BAD
∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM
∴∠HPN=∠GPM
∵∠B+∠D=180°
∴∠PGC+∠PHC=180°
又∵∠PHN+∠PHC=180°
∴∠PGC=∠PHN
∴△PGM∽△PHN
∴ 
= 
①
由PG∥AB，PH∥AD可得， 
= 
= 
即 = 
②
∴由①②可得， =
【解析】解：（1）①如图2，∵PM⊥BC，AB⊥BC 
∴△PMC∽△ABC
∴ = 
又∵AP=2PC
∴ = ，即 
=
∴PM= a，即正方形PMCN的边长是 a
②当AP=nPC时（n是正实数）， = 
∴PM= a
∴四边形PMCN的面积=（ a）2=
2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°
∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
∴ =
由PG∥AB，PH∥AD可得， 
∵AB=a，BC=b
∴ 
，即 =
∴ =
（1）①先判定△PMC∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解；②先用①中的方法求得正方形PMCN的边长，再计算其面积；（2）先过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；（3）先过P作PG∥AB，作PH∥AD，并结合条件∠B+∠D=180°，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可．
名师金手指领衔课时系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． 
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】小明的手机没电了，现有一个只含A，B，C，D四个同型号插座的插线板（如图，假设每个插座都适合所有的充电插头，且被选中的可能性相同），请计算： 
（1）若小明随机选择一个插座插入，则插入A的概率为；
（2）现小明对手机和学习机两种电器充电，请用列表或画树状图的方法表示出两个插头插入插座的所有可能情况，并计算两个插头插在相邻插座的概率．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在
ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．计算：
（1）若∠A 
60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A 100°, 则∠BOC的度数是多少？
（3）若∠A 120°, 则∠BOC的度数又是多少？
（4）由（1）、（2）、（3），你发现了什么规律？请用一个等式将这个规律表示出来.
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【题目】如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF． 
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
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【题目】如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论： ① 
；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF= 
AB；⑤S△ABC=5S△BDF ，
其中正确结论的序号是 ． 
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【题目】某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少？
（2）请你估计袋中红球接近多少个？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB． 
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=度．
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