Question

（2013年四川泸州2分）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为【　　】

A．72cm

B．36cm

C．20cm

D．16cm

Answer 1

A。

在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF。
∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC。
∵tan∠EFC=，∴tan∠BAF =。∴设BF=3x、AB=4x。
在Rt△ABF中，根据勾股定理可得AF=5x，∴AD=BC=5x。∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x。
∵tan∠EFC=，∴CE=CF•tan∠EFC=2x•=x。∴DE=CD﹣CE=4x﹣x=x。
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，即（5x）²+（x）²=（10）²，整理得，x²=16，解得x=4。
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，矩形的周长=2（16+20）=72cm。故选A。