Question

3．如图所示，扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=R，圆O₁与AO，BO和弧AB都相切；圆O₂和圆O₁，AO，BO都相切；圆O₃和圆O₂；AO，BO都相切；则圆O₃的面积为（　　）

• A． $\frac{π{R}^{2}}{2187}$
• B． $\frac{8π{R}^{2}}{2187}$
• C． $\frac{π{R}^{2}}{729}$
• D． $\frac{8π{R}^{2}}{729}$

Answer 1

分析 连接各切线与对应圆的圆心，由切线长定理可知∠O₁OA=∠O₁OB=30°，然后利用含30°直角三角形的性质可知r₁=$\frac{R}{3}$，同理可得到r₂=$\frac{R}{9}$，r₃=$\frac{R}{27}$，最后利用圆的面积公式即可求得答案．

解答 解：如图所示：连接各切线与对应圆的圆心．

∵OA、OB是⊙O₁的切线，
∴∠AOO₁=∠BOO₁=30°．
∵圆O₁与AO相切，
∴∠OCO₁=90°．
∴OO₁=2O₁C．
∴OA=3r₁₁．
∴r₁=$\frac{R}{3}$．
∴OE=O₁E=r₁=$\frac{R}{3}$．
同理：可知：r₂=$\frac{OE}{3}$，r₃=$\frac{OF}{3}$．
∴r₃=$\frac{R}{27}$．
由圆的面积公式可知圆O₃的面积=$π×（\frac{R}{27}）^{3}$=$\frac{π{R}^{2}}{729}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是切线的性质、含30°三角形的性质，利用含30°三角形的性质得到r₁=$\frac{R}{3}$，r₂=$\frac{R}{9}$，r₃=$\frac{R}{27}$是解题的关键．